Lär dig › Lärare › Resonemang och problemlösning

För lärare

Resonemang och problemlösning

Kursplanen i matematik i Lgr22 bygger på fem förmågor, och två av dem är problemlösning och resonemang: eleverna ska kunna ”formulera och lösa problem” och ”föra och följa matematiska resonemang”. Problemlösning är dessutom ett eget område i det centrala innehållet, både i åk 1–3 och i åk 4–6, med bland annat ”Strategier för att lösa matematiska problem i elevnära situationer” (kursplanen i matematik). Att resonera är att förklara, motivera och upptäcka mönster: ”Hur vet du det?” Att lösa problem är att använda det man kan i en situation man inte har mött förut.

Resonemang behöver ingen egen lektion. Det växer fram ur frågorna du ställer och ur vanan att alltid berätta hur man tänkte. Idéerna nedan passar i alla områden och årskurser från förskoleklass till åk 6.

Frågor som får eleverna att resonera

Ha några av dem på ett kort i fickan eller på väggen i klassrummet, och använd dem tills de sitter:

• Vad lägger du märke till? Vad undrar du?
• Vad är lika och vad är olika?
• Hur tänkte du? Hur vet du det? Kan du visa det?
• Finns det fler sätt? Vilket sätt är snabbast?
• Vad händer om …?
• Ge ett exempel. Ge sedan ett som ingen annan kommer att tänka på.
• Stämmer det alltid, ibland eller aldrig?
• Var har det blivit fel?
• Är svaret rimligt?

Den sista frågan har stöd i kursplanen, som tar upp ”Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar” i både åk 1–3 och åk 4–6.

Övertyga mig!

Ge eleverna något som de redan vet och be dem övertyga dig, eller en kamrat som spelar tvivlare, om att det stämmer. ”För att jag kan det” räcker inte: de måste ge skäl.

• Åk 1: Övertyga mig om att 7 + 8 = 15. Dubbelt 7 är 14, och 8 är ett mer än 7, så svaret är ett mer än 14.
• Åk 3: Övertyga mig om att 6 · 7 = 42. 5 · 7 = 35, och en sjua till är 42.
• Åk 4: Övertyga mig om att ⅗ är större än ½. Hälften av 5 femtedelar är två och en halv femtedel, och 3 femtedelar är mer än så.

Plockmaterial, en tallinje eller en teckning räknas också som bevis, och ofta är en bild den bästa förklaringen.

Stämmer det eller inte?

Skriv ett påstående på tavlan. Eleverna bestämmer sig och förklarar varför. Blanda sanna och falska påståenden, så att ingen kan gissa sig till mönstret.

Hitta felet

Visa en löst uppgift med ett fel i, och be eleverna hitta felet, förklara det och rätta det. Det känns mindre utsatt än att rätta sina egna fel, och du kan förebygga de missuppfattningar som du vet brukar dyka upp.

• Åk 2–3: 52 − 27 = 35. I entalen har eleven räknat 7 − 2 i stället för 12 − 7. Växla ett tiotal till tio ental: 12 − 7 = 5 ental och 4 − 2 = 2 tiotal, alltså 25. Kontrollera med addition: 25 + 27 = 52.
• Åk 3: 8 + 4 = 12 + 3 = 15. Det som står på var sida om ett likhetstecken ska vara lika mycket värt, men 8 + 4 är inte lika med 15. Skriv i stället 8 + 4 = 12 och 12 + 3 = 15.
• Åk 4: 824/4 = 26, med kort division. 8 delat med 4 är 2. Sedan 2 delat med 4: det går inte, och då ska det stå en nolla i svaret, med 2:an som minnessiffra framför 4:an. 24 delat med 4 är 6, så svaret är 206. Kontrollen avslöjar felet: 4 · 26 = 104, men 4 · 206 = 824.
• Åk 5: ¼ + ¼ = ²⁄₈. En fjärdedel plus en fjärdedel är två fjärdedelar, ²⁄₄, alltså en halv. Nämnaren adderas inte: den visar hur stora delarna är.
• Åk 6: 0,4 · 3 = 0,12. 4 tiondelar · 3 = 12 tiondelar, alltså 1,2. Rimligt, eftersom 0,4 är nästan en halv och tre halvor är 1,5.

Rika problem med låg tröskel och högt tak

Ett rikt problem är en uppgift som alla kan komma igång med, som går att lösa på flera sätt och som leder vidare till samtal och nya frågor. Sådana problem har låg tröskel och högt tak: alla kan börja, och den som blir klar snabbt har alltid något att gå vidare med.

• Alla årskurser: Svaret är 12. Vad kan frågan vara? I förskoleklass kanske 10 + 2, i åk 6 kanske 3 · 4, 48/4 eller 25 % av 48.
• Åk 1: På hur många sätt kan du få summan 6 när du kastar två tärningar? 1 + 5, 2 + 4 och 3 + 3, eller 5 sätt om 5 + 1 och 4 + 2 räknas som egna sätt. Diskussionen om vilket svar som är rätt är själva resonemanget.
• Åk 3: På loppisen betalar du exakt 21 kr och använder enbart femkronor och tvåkronor. Vilka mynt kan du ha använt? En femkrona och åtta tvåkronor, eller tre femkronor och tre tvåkronor. Antalet femkronor måste vara udda, eftersom 21 är ett udda tal och tvåkronorna alltid blir ett jämnt belopp.
• Åk 5–6: En rektangel har omkretsen 20 cm, och sidorna är ett helt antal centimeter. Hur stor kan arean vara? Längden och bredden är tillsammans 10 cm, så arean kan vara 9, 16, 21, 24 eller 25 cm². Kvadraten med sidan 5 cm ger störst area, och det öppnar för en ny diskussion: är en kvadrat en rektangel?

EPA: enskilt, par, alla

EPA är ett vanligt sätt att arbeta med ett problem så att alla hinner tänka. Enskilt: alla tänker själva en stund. Par: eleverna jämför med en kamrat och ska kunna återberätta kamratens sätt. Alla: några par redovisar för klassen. Välj i förväg vilka lösningar som ska visas och i vilken ordning, till exempel från en teckning till en uträkning.

Ett problem som passar i åk 4–5: Fyra kompisar delar lika på 3 kanelbullar. Hur mycket får var och en? En elev delar varje bulle i fyra bitar, och då får alla tre fjärdedelar. En annan ger först alla en halv bulle, och då har två bullar gått åt. Den sista bullen delas i fyra bitar, så att alla får ½ + ¼. Båda kommer fram till ¾ bulle, och när klassen jämför syns det att ½ + ¼ är lika med ¾.

Textuppgifter: läs, rita, räkna, svara

Många elever kastar sig över talen i en textuppgift och räknar med det första räknesätt de kommer att tänka på. Lär dem att stanna upp och gå igenom samma steg varje gång: läs (vad vet vi, och vad är frågan?), rita det som händer, räkna, svara med en hel mening och kontrollera att svaret är rimligt.

Ett exempel från åk 3: Hugo har 100 kr. Han köper 3 glassar för 25 kr styck. Hur mycket har han kvar? Uträkningen är 3 · 25 = 75 och 100 − 75 = 25. I många klassrum avslutas uppgiften med en svarsmening, ”Svar: Hugo har 25 kr kvar”, i stället för bara talet 25. Att skriva meningen tvingar eleven att gå tillbaka till frågan. Kontroll: 75 + 25 = 100.

Se upp med nyckelord. ”Kvar” låter som subtraktion, men uppgiften ”Saga köper en glass för 25 kr och har sedan 15 kr kvar. Hur mycket hade hon från början?” löses med addition: 25 + 15 = 40 kr. Låt hellre eleverna berätta uppgiften med egna ord och rita den än jaga enstaka ord.

Stapelmodellen

En stapelmodell (i vissa läromedel kallad rektangelmodell eller modellmetoden) är en bild av problemet ritad med rektanglar. Den hjälper eleverna att se vad de vet och vad de ska ta reda på, innan de väljer räknesätt. De yngre börjar med en del–helhet-modell: ”I klassen går 23 elever, och 14 av dem går till fritids efter skolan. Hur många går hem?” Helheten är 23 och en del är 14, så den andra delen är 23 − 14 = 9.

Stapelmodellen fungerar också för bråk. I åk 5–6: ”Elsa köper ett spel för ⅖ av sina sparpengar och har 180 kr kvar. Hur mycket hade hon från början?” Rita en stapel i 5 lika stora delar och markera 2 av dem som använda. De 3 delar som är kvar är 180 kr, så en del är 60 kr och hela stapeln är 5 · 60 = 300 kr. Kontroll: ⅖ av 300 kr är 120 kr, och 300 − 120 = 180.

Meningsstarter som hjälper eleverna att förklara

Många elever vet svaret men inte hur de ska säga varför. Meningsstarter ger dem orden. Använd dem själv först, sätt upp dem på väggen och förvänta dig hela meningar:

• Jag vet att …, så …
• Först …, sedan …, så svaret är …
• Det kan inte vara …, eftersom …
• Jag håller med (eller håller inte med) … för att …
• Det stämmer alltid / ibland / aldrig, eftersom …
• Mitt svar är rimligt, eftersom det ligger nära min uppskattning, som var …

Kombinera dem med EPA: eleverna säger meningen till en kamrat innan någon svarar inför hela klassen.

Snabba svar

Läs vidare