Lär dig › Områden › Algebra och samband

Områdesguide

Algebra och samband

Algebra är matte där ett av talen är okänt. I lågstadiet börjar det med en tom ruta som ska fyllas i, 7 + □ = 10, och efter hand byts rutan ut mot en bokstav: x + 3 = 10. Till algebran hör också att upptäcka regeln i ett mönster eller en talföljd, och i den svenska kursplanen även att följa och skriva instruktioner steg för steg, som är grunden för programmering. Samband handlar om hur två saker hänger ihop och förändras tillsammans. Köper du dubbelt så mycket plockgodis kostar det dubbelt så mycket. Det kallas ett proportionellt samband, och det finns i recept, i jämförpriser, på kartor och i procent.

I kursplanen har området två egna rubriker, ”Algebra” och ”Samband och förändring”, och båda finns med redan från årskurs 1. Ordet algebra kan låta som högstadiematte, men tänkandet börjar långt tidigare.

Vad barnen lär sig, årskurs för årskurs

Kursplanen i matematik i läroplanen Lgr22 anger innehållet för årskurs 1–3 och för årskurs 4–6, inte för varje enskild årskurs. För lågstadiet står det bland annat ”matematiska likheter och likhetstecknets betydelse”, ”obekanta tal och hur de kan betecknas med en symbol” och ”proportionella samband, däribland dubbelt och hälften”. För mellanstadiet kommer ”variabler och deras användning i enkla algebraiska uttryck och ekvationer”, koordinatsystem och ”grafer för att uttrycka proportionella samband”. Enligt kriterierna för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3 ska eleven kunna hantera enkla matematiska likheter och använda likhetstecknet ”på ett fungerande sätt”. Vad som tas upp i vilken årskurs bestämmer skolan, ofta genom läromedlet. Tabellen visar hur det brukar se ut i många matteböcker.

De stora idéerna

1. Likhetstecknet betyder ”är lika med”

Många barn läser = som ”och svaret blir”. Det fungerar för 3 + 5 = 8, men inte för 8 = 3 + 5 eller 18 + 2 = □ + 17. Tänk dig en balansvåg: båda sidorna måste väga lika mycket. 18 + 2 är 20, så □ + 17 måste också vara 20, och talet som saknas är 3. Ett barn som läser = som ”blir” skriver gärna 20 i rutan. Därför brukar lärare säga ”är lika med”, och därför skriver de ibland uträkningar med svaret till vänster. Motsatsen är ≠, ”inte lika med”: 3 + 4 ≠ 8.

2. Räkna baklänges med den omvända räkneoperationen

Addition och subtraktion tar ut varandra, och det gör multiplikation och division också. De kallas omvända räkneoperationer, och de är nyckeln till de flesta uppgifter där ett tal saknas. För □ − 9 = 7 kan barnet fråga sig: ”Vilket tal blir 7 om jag tar bort 9?” Lägg sedan tillbaka de 9 som togs bort: 7 + 9 = 16. För □ · 4 = 32 delar man i stället: 32/4 = 8. Pröva sedan genom att sätta in svaret: 16 − 9 = 7 och 8 · 4 = 32. Att pröva sitt svar är en vana som lönar sig ända upp till högstadiet.

3. Mönster och talföljder följer en regel

En talföljd är en rad tal som följer en regel, och ett mönster kan också bestå av färger, former eller figurer. I förskoleklassen och på lågstadiet fortsätter barnen mönster och räknar med olika steg. Senare ska de hitta regeln själva, förklara den med ord och räkna ut vad som kommer längre fram. Ett upprepat mönster (röd, blå, röd, blå) är något annat än ett växande mönster, där något blir fler för varje steg, som Indies vaxkaka i utmaningen längre ner. I årskurs 6 kan en del elever hitta en regel som hoppar direkt till vilken plats som helst. I 3, 7, 11, 15, 19 är varje tal 4 gånger platsnumret minus 1 (första talet är 4 · 1 − 1 = 3, andra är 4 · 2 − 1 = 7), så tal nummer 10 är 4 · 10 − 1 = 39.

4. Ett obekant tal kan skrivas med en bokstav

Redan i lågstadiet kan rutan bytas ut mot en symbol eller en bokstav: x + 1 = 3 betyder ”ett tal plus 1 är lika med 3”, så x = 2. I mellanstadiet kallas en sådan likhet för en ekvation, och bokstaven för ett obekant tal eller en variabel. Ekvationen x + 15 = 40 ger x = 25. Skriver man 3x menar man 3 · x, så om 3x = 18 är x = 6. Vågen hjälper även här: gör man samma sak på båda sidorna väger de fortfarande lika mycket. Det är kärnan i de algebraiska metoder som kursplanen tar upp för årskurs 4–6.

En del likheter har flera lösningar. I a + b = 10 kan a och b vara 1 och 9, 2 och 8, 3 och 7 och så vidare. Det är tiokamraterna igen! En formel är en regel för att räkna ut något, skriven med ord eller bokstäver. Omkretsen av en rektangel är 2 · (längden + bredden), så en rektangel som är 7 cm lång och 4 cm bred har omkretsen 2 · (7 + 4) = 22 cm. Arean är längden · bredden = 7 · 4 = 28 cm².

5. Stegvisa instruktioner och programmering

I den svenska kursplanen hör programmering till algebran. I lågstadiet handlar det om ”entydiga stegvisa instruktioner”: varje instruktion ska kunna förstås på ett enda sätt, och stegen ska komma i rätt ordning. Barnen styr varandra eller en liten golvrobot med pilar och skriver egna program på rutat papper. I mellanstadiet programmerar de i en visuell programmeringsmiljö, där man lägger block efter varandra på skärmen. Där dyker upprepningar (loopar) och villkor upp. ”Upprepa 4 gånger: gå 3 steg framåt och sväng höger” ritar en kvadrat, och ”om du kommer till väggen, sväng” är ett villkor. Det är algebra i liten skala: hitta mönstret, skriv regeln en gång och använd den många gånger.

6. Dubbelt och hälften: proportionella samband

Två storheter är proportionella när de förändras i samma förhållande: blir den ena dubbelt så stor, så blir den andra också dubbelt så stor, och blir den ena tre gånger så stor, så blir den andra det också. Kursplanen nämner ”dubbelt och hälften” redan för lågstadiet. Plockgodis är ett bra exempel. Kostar godiset 13 kr per hekto, så kostar 2 hekto 26 kr och 5 hekto 65 kr. Priset är alltid antalet hekto gånger 13. I årskurs 6 ritar barnen sådana samband som grafer i ett koordinatsystem.

Allt hänger inte ihop på det sättet. Ett barn som är 115 cm långt som sexåring är inte 230 cm när det fyller tolv. Och kokar ett ägg på 8 minuter, så tar tre ägg i samma kastrull inte 24 minuter. Att känna igen när ett samband inte är proportionellt är lika viktigt som att räkna med det.

Ett bra sätt att lösa sådana uppgifter är att först räkna ut vad en kostar. Kostar 3 hekto godis 39 kr, så kostar 1 hekto 39/3 = 13 kr, och då kostar 5 hekto 5 · 13 = 65 kr. Samma tänkande finns på hyllkanten i mataffären: jämförpriset visar vad varan kostar per kilo eller per liter, så att man kan jämföra olika förpackningar.

Procent är också proportionalitet. 25 % betyder 25 av 100, alltså en fjärdedel. Kostar en jacka 400 kr och priset sänks med 25 % på rean, så blir den 400/4 = 100 kr billigare och kostar 300 kr. Kursplanen för årskurs 4–6 tar upp hur proportionella samband uttrycks i bråk-, decimal- och procentform: hälften är ½, 0,5 och 50 %. Mer om det finns under Decimaltal och procent.

7. Förstora och förminska: recept, blandningar och skala

För att göra något större eller mindre utan att det blir fel multiplicerar (eller delar) man allt med samma tal. Här är ett pannkaksrecept för 4 personer, omräknat till 6. Gå via 2 personer, alltså dela med 2 och multiplicera sedan med 3, så blir det hela tal hela vägen:

På en saftflaska kan det stå ”blanda 1 del saft med 4 delar vatten”. Det är ett blandningsförhållande. Ska du göra 1 liter färdig saft, alltså 10 dl, består den av 1 + 4 = 5 lika stora delar. 10/5 = 2, så varje del är 2 dl: 2 dl saft och 8 dl vatten. Kontroll: 2 + 8 = 10. Skala, som barnen möter i geometrin, bygger på samma idé. På en ritning i skala 1:100 (”ett till hundra”) är 1 cm på papperet 100 cm, alltså 1 m, i verkligheten. En vägg som är 7 cm på ritningen är 7 m lång på riktigt.

Vanliga fel att hålla utkik efter

• Att läsa = som ”svaret blir”: i 18 + 2 = □ + 17 skriva 20 i rutan i stället för 3.
• Att räkna baklänges med fel räknesätt: för □ − 9 = 7 räkna 9 − 7 = 2 i stället för 7 + 9 = 16.
• Att läsa 3a som ”3 plus a”, eller tro att 3a blir 34 när a = 4 (det blir 3 · 4 = 12). Eller att tro att en bokstav står för en sak (”a står för apelsiner”) och inte för ett tal.
• Att blanda ihop blandningsförhållande och bråk: med 1 del saft och 4 delar vatten är saften ⅕ av drycken, inte ¼, eftersom det är 5 delar sammanlagt.
• Att addera i stället för att multiplicera: göra om ett recept för 4 personer till 6 genom att lägga till 2 av allt. Då blir det 4 dl mjöl, 6 dl mjölk och 4 ägg, i stället för 3 dl mjöl, 6 dl mjölk och 3 ägg.
• Att tro att allt är proportionellt: tre ägg i samma kastrull kokar lika länge som ett.
• Att gissa regeln utifrån de två första talen: 2, 4… kan fortsätta 6, 8 (lägg till 2) eller 8, 16 (dubbla). Kontrollera att regeln stämmer hela vägen.

Femminuterslekar för hemmet

• Under muggen. Lägg 10 knappar, russin eller pastaskruvar på bordet, göm några under en mugg och fråga hur många som är gömda. ”Jag ser 6, så det ligger 4 under muggen.” Det är 6 + □ = 10 med riktiga saker.
• Jag tänker på ett tal. ”Jag tänker på ett tal, lägger till 5 och får 12. Vilket tal tänkte jag på?” Byt roller och låt ditt barn hitta på gåtorna.
• Talmaskinen. Barnet säger ett tal. Du dubblar det i hemlighet, lägger till 1 och säger svaret: 3 blir 7 och 5 blir 11. Vem kommer först på regeln?
• Roboten. Barnet programmerar och du är roboten. Barnet ska få dig från dörren till soffan enbart med order som ”gå 3 steg framåt” och ”vänd dig ett kvarts varv åt höger”. Krockar roboten får programmet rättas.
• Pärlmönster. Trä pärlor eller pastarör i ett upprepat mönster och sedan i ett växande: 1 röd, 2 blå, 3 röda… Vad kommer sedan? Hur många pärlor behövs i nästa grupp?
• Dubbel sats. När ni bakar chokladbollar eller kladdkaka, gör en dubbel eller halv sats tillsammans. Vad är dubbelt så mycket som 1,5 dl socker? (3 dl.) Och på lördagen: kostar godiset 13 kr per hekto, vad kostar då 2 hekto? (26 kr.)

Gratis arbetsblad om algebra och samband

Skriv ut dem och öva hemma eller i klassrummet. Varje arbetsblad har facit på sidan två.

Vilket tal fattas?Årskurs 3, Årskurs 4, Årskurs 5 · Hitta talet i rutanLadda ned PDF

Snabba svar

Läs vidare